Solving an Equation with One variable

Intuition Concept

컴퓨터가 생각하는 방식은 절레절레와 노가다 밖에 없어요.
무슨말이냐면 Yes, No의 선택방식과, 계산을 계속하는 방법이 전부라는 의미죠.
멍청하다고 생각할 수 있겠지만 이것을 잘 활용하면 강점이 됩니다.

다항식의 근을 구하는 방법은 roots라는 함수를 사용하면 끝났었죠. 

하지만 우리가 다루는 함수는 거기서 그치지 않기 때문에 다른 함수를 만들어야 합니다.

수학적으로 근이라는 것은 1개의 변수만 있는 함수 일때 x축과 만나는 점을 말합니다. 

위의 그림 같은 경우는 3축을 통과하는 점이 3개네요.  이런 경우 컴퓨터는 근을 찾을 수 있게 됩니다. 그렇다면 이 경우는 어떨까요?

접하는 경우도 분명 근이 맞지만 컴퓨터는 이 접하는 점을 근으로 판단하지 못합니다. 

알고리즘 자체가 함수값의 부호가 바뀌었을 때, 멈추도록 짜여 있기 때문이죠. 

따라서 지금 배울 이 함수는 접하는 경우에 사용하기 어렵습니다.

함수의 알고리즘은 중간값의 정리를 기반으로 하고 있습니다. 그렇기 때문에 값을 정해주어야 합니다. 

정해진 값으로 부터 가까운 근에 가까운 쪽에 있는 값으로 다가가며 최종적인 근을 결과물로 내놓습니다.

Function

근 = fzero(함수,초기값)

여기서 함수는, f(x) = 0 의 형태로 만든 뒤에 사용해야 합니다.

Example

(x+1)*exp(-x) = 0.3의 근을 구해라.

f(x) = (x+1)*exp(-x)-0.3

초기값을 정해야 하니 함수를 그려봅니다.

f = @(x)(x+1)*exp(-x)-0.3 fplot(f,[-1 8])

2개의 근이 나올 것으로 보이고 근처값을 산정해서 넣습니다.

f = @(x)(x+1)*exp(-x)-0.3
fplot(f,[-1 8]) 
a=fzero(f, -0.2 )
[b f_value]=fzero(f, 3, optimset('display', 'iter'))

a =  -0.8749   부호 변경이 포함된 3의 구간을 검색합니다. 
 
부호 변경이 포함된 3의 구간을 검색합니다.
 Func-count    a          f(a)             b          f(b)        Procedure
    1               3     -0.100852             3     -0.100852   initial interval
    3         2.91515    -0.0878145       3.08485     -0.113172   search
    5            2.88    -0.0821971          3.12     -0.118072   search
    7         2.83029    -0.0740299       3.16971     -0.124806   search
    9            2.76     -0.062023          3.24     -0.133945   search
   11         2.66059     -0.044099       3.33941     -0.146134   search
   13            2.52    -0.0167822          3.48     -0.161983   search
   14         2.32118     0.0259999          3.48     -0.161983   search
 
구간 [2.32118, 3.48]에서 영점을 검색합니다.
 Func-count    x          f(x)             Procedure
   14         2.32118     0.0259999        initial
   15         2.48145   -0.00887552        interpolation
   16         2.44067  -0.000308135        interpolation
   17         2.43922   2.17727e-07        interpolation
   18         2.43922  -9.30881e-11        interpolation
   19         2.43922             0        interpolation
 
구간 [2.32118, 3.48]에서 영점이 발견됨
 
b =
 
    2.4392
 
 
f_value =
 
     0

옵션 optimset(‘display’, ‘iter’)을 선택하면 진행되는 과정을 볼 수 있다.

Reference

• desmos.com/calculator
• 중간값의 정리