Category Theory Part.01

범주론에서의 카테고리에 대해 알아보자.

Category Theory

• 카테고리에 대한 이론

Category

요소와 요소의 관계까지를 포함한 집합같은 개념

• Object와 Morphisms로 구성된다.
• Object(객체): 카테고리의 원소
• Morphisms(사상): 카테고리의 원소들 사이의 관계

그림으로 보기

• 원소는 무엇이 될 수 있을까?
• 특정 값 (3)도 될 수 있을 것이고, 집합 자체가 될 수도 있다.
• 즉, 원소라는 것은 점에 대응되는 어떠한 개념이 될 것이다.
• 우리가 함수를 그리는 것 처럼 어떤 값에 대응된다고 생각하면 안된다.
• 마찬가지로 사상 역시 단순히 값이 연결된거라고 생각하면 안된다.
• 이 역시도 다양한 관계를 나타낼 수 있다. 집합과 집합사이를 매핑하는 전체 관계를 나타낼 수도 있다.

• 대상 자체가 집합이 된다는 게 어떤 의미일까?
• 굳이 그림으로 그러보면 이렇게 되겠다.
• 위에서 표현한 그림의 원소가 집합일 경우 사고를 3차원으로 하는 것이 도움이 될 것이다.
• 점 자체는 어떠한 집합을 나타내며, 그 관계는 집합과 집합사이에서 정의되는 함수를 나타낼 것이다.

Category 정리

• 즉, 카테고리를 표현하기 위해 사용했던 점, 화살표는 단순히 표현일 뿐이다.
• 점을 단순히 좌표나 값으로 생각해서는 안된다.
• 화살표도 단순히 어떠한 값을 다른 값으로 매핑한다고 생각하면 안된다.
• 점 자체는 다양한 속성을 가진 정보가 될 수 있으며,
• 화살표는 그 속성 사이간의 관계들을 뭉뚱그려 나타내는 정보이다.

Category가 되려면?

• 어떠한 시스템이 카테고리가 되려면 어떻게 해야할까?
• 사실 이러한 예를 찾기가 되게 어렵다.
• 일단 어떤 조건을 가져야 특정 체계를 카테고리라할 수 있는지 살펴보자.

Morphisms must be composable

사상은 합성이 가능해야 한다.

• 위와 같이 f, g가 있을 때, g∘f가 존재해야 한다.
• 즉, 두 사상을 이은 것과 같은 정보를 가진 별도의 사상 g∘f가 존재해야 한다.

사상은 결합 법칙을 만족해야 한다.

$$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$$

Identity morphisms must exist

항등 사상이 항상 존재해야 한다.

• 항등 사상이므로 다음도 항상 만족해야 한다.

$$id\circ f=f\circ id=f$$

Category의 예

• 이렇기 때문에 현실에서 파악하기가 어렵다.
• 모식화한 간단한 예시를 보자.
• 경로 카테고리의 예시이다.

• 왼쪽에 있는 그림이 카테고리가 맞는지 확인해보자.
• 일단 그냥 보면 당연히 아니다. 하지만, 이를 만족할 수 있는 추가 정의를 한다면 카테고리로 바라볼 수 있다.
• A→A로 가려면 가만히 있어야 한다. 그 사상을 Stay라는 이름으로 정해보자.
• 왼쪽의 상황에서의 사상 관계를 모두 나타내면 오른쪽 처럼 된다.
• l로 정의된 사상들을 가지고 합성한 사상이 존재하는지 확인해보자.
• l3∘l1, l4∘l2로 합성한 사상이 존재한다.
• 즉, 임의의 두 사상에 대해 둘을 합성한 사상이 존재하고 (Morphisms must be composable)
• 항등 사상도 존재한다. (Identity morphisms must exist)
• 항등 사상을 합성했을 때 그대로 나오기도 한다.
• 그렇기에 위 경로는 카테고리의 모든 조건을 만족한다.

Category는 무엇을 나타내는가?

• 카테고리는 자연에 있는 무언가를 추상화한 것이 아니다.
• 우리가 자연을 분석할 때 나오는 추상화낸 개념들은 어떠한 체계를 이룬다.
• 이러한 개념들이 서로다른 것처럼 보이나, 그 개념들을 서로 비교해보면 어느 시점에서 공통된 패턴이 자주 도출된다.
• 이렇게 어떠한 체계들이 이루는 체계를 다루는 개념이다.
• 즉, 메타 수학이다.

우리는 대상을 어떻게 분석하는가?

• 우리는 많은 것을 “합성 가능한 관계”를 통해 분석한다.
• 프로그래밍에서 생각해보면, 작은 것들을 만들고 그 작은 것들이 합성되어 큰것을 만드는 방식으로 문제를 해결한다.
• 수학에서 2 + 3은 자연수 사이의 합성 가능한 관계를 분석하고 이를 통해 정의한다.
• 언어도 마찬가지다. 문법 사이의 합성 가능한 관계를 조작하여 원하는 의미를 도출한다.
• 이렇게 어떠한 체계를 합성 가능한 관계를 통해 분석하면, 필연적으로 어떠한 카테고리를 만들게 된다.
  • 언어로 예를 들면, 언어에는 다음으로 조합가능한 단어들이 있다. 그리고 그 단어들을 바탕으로 다음 단어를 만들어야 한다.
  • 위의 예시처럼 경로가 그려지지 않는가?

수학에서의 Category

• 카테고리로 가득한 것이 수학이다.
• 수학 분야에서 같은 대상을 정의하려면 어떻게 할까?
• 합성 관계를 통해 같은 결과가 나오면 그 두 대상을 같다고 정의하는 경우가 많다.

집합론

• 집합을 다루는 학문이 집합론이다.
• 그런데 집합만 다루지는 않는다.
• 집합과 집합사이의 관계를 다룬다.
• 왜일까?
• 집합을 보다보면, 서로다른 집합을 비교하거나 대응시킬 수 있어야 한다.
  • 집합의 크기 비교라던지 (무한집합의 크기 비교)
  • 크기 비교 할 때, 각 원소들을 대응시키는 방법으로 처리한다.
• 그리고 그 대응시키는 관계가 곧 함수다.
• 결국 집합론은 모든 집합을 “대상(Object)“로, 그들 사이의 함수를 “사상(Morphism)“으로 하는 어떤 카테고리를 연구하는 분야라 할 수 있다.

다른 예시들

• 군론 (Group Theory)
  • 군과 군 사이의 준동형 사상을 다룬다.
  • 군은 카테고리에서 대상, 준동형 사상은 사상과 대응된다.
  • 군: 집합과 이항연산을 가진 대수적 구조
  • 준동형 사상: 군과 군 사이의 사상
• 위상 수학 (Topology)
  • 위상 공간과 위상 공간 사이의 연속 함수를 다룬다.
  • 위상 공간은 대상, 위상 사상은 사상과 대응된다.

Reference

• 모나드의 모든 것
• FunctionalProgramming