Scalar Function by Scalar

f; =; f u n c t i o n; o f (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}, t); q_{i}; =; g_{i} (t),;; i = 1, 2, 3 \dots, n

이때 t에 대해 미분하면,

\frac{df}{d t}; =; \frac{\partial f}{\partial q _{1}} \frac{d q _{1}}{d t} + \frac{\partial f}{\partial q _{2}} \frac{d q _{2}}{d t} + \dots + \frac{\partial f}{\partial q _{n}} \frac{d q _{n}}{d t} + \frac{\partial f}{\partial t}

이를 벡터 형식으로 나타내면,

{df\over dt};=;\begin{bmatrix} {\partial f\over \partial q_1} & {\partial f\over \partial q_2} & \dots & {\partial f\over \partial q_n}\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} {dq_1\over dt}\\ {dq_2\over dt}\\ \vdots \\{dq_n\over dt}\\ \\end{bmatrix} +{\partial f \over \partial t}\\

여기서 벡터로 표현된 녀석을 다음과 같이 표현하자.

\\begin{bmatrix} {\partial f\over \partial q_1} & {\partial f\over \partial q_2} & \dots & {\partial f\over \partial q_n}\\ \\end{bmatrix}={\partial f \over \partial \overset{\rightarrow}{q}}=f\_{\overset{\rightarrow}{q}}

b e g in bma t r i x \frac{d q _{1}}{d t} \frac{d q _{2}}{d t} ⋮ \frac{d q _{n}}{d t} e n d bma t r i x = \frac{d q \to}{d t}

그렇다면 위의 식은 다음과 같이 정리된다.

\frac{df}{d t}; =; f_q \to \frac{d q \to}{d t} + \frac{df}{d t}

Vector Function by Scalar

벡터함수 f는 각각의 요소에 변수 (q1~qn, t) 를 갖는 스칼라 함수를 m개 갖는다고 하자.

f_1;=;f_1(q_1,q_2,\dots,q_n,t)\\ f_2;=;f_1(q_1,q_2,\dots,q_n,t)\\ f_3;=;f_1(q_1,q_2,\dots,q_n,t)\\ \\vdots\\ f_m;=;f_n(q_1,q_2,\dots,q_n,t)\\ ;\\ ;\\ \\overset{\rightarrow}{f};=;\[f_1;f_2;f_3;\dots;f_m\]^T

그렇다면 이 함수를 스칼라 변수 t로 미분하면,

각각의 요소는,

\frac{d f _{j}}{d t}; =; \frac{\partial f _{j}}{\partial q \to} \frac{d q \to}{d t} + \frac{df}{d t};; j; =; 1, 2, \dots, m

{\partial f_j \over \partial \overset{\rightarrow}{q}}= \\begin{bmatrix} {\partial f_j\over \partial q_1} & {\partial f_j\over \partial q_2} & \dots & {\partial f_j\over \partial q_n}\\ \\end{bmatrix}

그렇다면, 벡터 함수를 t로 미분한 최종 결과는,

{d\overset{\rightarrow}{f} \over dt};=;\begin{bmatrix} {df_1\over dt}\\ {df_2\over dt}\\ \vdots \\{df_n\over dt}\\ \\end{bmatrix};= \\begin{bmatrix} {\partial f_1\over \partial q_1} & \dots & {\partial f_1\over \partial q_n} \\\vdots\ & & \vdots\\ {\partial f_m\over \partial q_1} & \dots & {\partial f_m\over \partial q_n}\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} {dq_1\over dt}\\ \vdots \\{dq_n\over dt}\\ \\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} {df_1 \over dt}\\ \vdots \\{df_m \over dt}\\ \\end{bmatrix} \\

\frac{d f \to}{d t}; =; \frac{\partial f \to}{\partial q \to} \frac{d q \to}{d t} + \frac{\partial f \to}{\partial t}

여기서 행렬이 만들어진다는 것을 잊으면 안된다! 각각의 크기만 적어보면,

\frac{d f \to}{d t}; =; \frac{\partial f \to}{\partial q \to} \frac{d q \to}{d t} + \frac{\partial f \to}{\partial t} (m \times 1) = (m \times n) (n \times 1) + (m \times 1)

스칼라 함수를 스칼라로 미분하는 가장 위의 예에서, 함수 f를 벡터 q로 미분하면, 다음과 같다.

{d f \over d\overset{\rightarrow}{q}};=;\begin{bmatrix} {d f\over d q_1} & {d f\over d q_2} & \dots & {d f\over d q_n}\\ \\end{bmatrix}

벡터 함수를 스칼라로 미분하는 두번째 예에서, 벡터 함수 f를 q1으로 미분한다면,

{d\overset{\rightarrow}{f} \over dq_1};=;\begin{bmatrix} {d f_1\over d q_1} & {d f_1\over d q_1} & \dots & {d f_1\over d q_1}\\ \\end{bmatrix}

Skew-Symmetric Matrix는 벡터의 외적을 사용해서 다르게 표현이 가능한데, 간단한 예를 들어 생각해보자.

\\overset{\rightarrow}{a} ;=;\[a_1;a_2;a_3\]^T\\ \\overset{\rightarrow}{b} ;=;\[b_1;b_2;b_3\]^T\\

이 두 벡터를 내적하면,

\\overset{\rightarrow}{a}\times\overset{\rightarrow}{b};=; \\begin{bmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ -(a_1b_3-a_3b_1)\\ a_1b_2-a_2b_1 \\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1\\ -a_2 & a_1 & 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \\end{bmatrix};=; { { \underset{=} {\overset{\sim}{a} } } } \cdot \overset{\rightarrow}{b}

외적 식을 b벡터를 활용해서 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이때 중간에 skew-symmetric matrix 가 나오고, a 벡터가 왼쪽에 놓인 외적을 수행했을 때 발생하는 행렬을 위와 같이 표현했다. 마찬가지로, b벡터에 대해 하면,

\\overset{\rightarrow}{a}\times\overset{\rightarrow}{b};=;\begin{bmatrix} 0 & -b_3 & b_2\\ b_3 & 0 & -b_1\\ -b_2 & b_1 & 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \\end{bmatrix};=; { { \underset{=} {\overset{\sim}{b} } } } \cdot \overset{\rightarrow}{a}

이와 같다.

a 의 단위벡터와 a 벡터를 외적하면, 0이다.

ha t a \to; \times; a \to; =; - a \to; \times; \hat{a \to}; =; o v erse t \to 0

이 표현을 Skew-symmetric Matrix를 써서 표현하면,

- a \to; \times; \hat{a \to}; =; - = a \to \cdot \hat{a \to}; =; 0 \to

Skew-Symmetric Matrix 의 특징을 사용하면,

- = a \to; =; = a \to^{T}

- = a \to \cdot \hat{a \to}; =; = a \to^{T} \cdot \hat{a \to}; =; 0 \to

시스템 내에서 역학적 Joint 에서 위치 벡터와의 관계는 다음과 같이 빈번하게 묘사된다.

o v erse t \to a \times x \to; =; 0 \to

즉, a 벡터와 x 벡터가 수직임을 나타낸다. 수직인 벡터는 무수하게 많이 나온다는 점을 기억한 상태로 다음을 보자. Skew-symmetric Matrix를 사용해서 나타내면,

{ { \underset{=} {\overset{\sim}{a} } } } \cdot \overset{\rightarrow}{x};=;\overset{\rightarrow}{0}\\ ;\\ ;\\ { { \underset{=} {\overset{\sim}{a} } } };=; \\begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1\\ -a_2 & a_1 & 0 \\end{bmatrix}

a 행렬에 대해 Determinant를 구해보면, 0이다. 즉, a 행렬은 특이 행렬이다. 즉, Rank가 matrix size보다 작다. 즉, x 벡터는 하나로 결정되지 못한다.