SEC Serialization

비밀키, 공개키, 서명, 그리고 검증 방법까지 알아보았다. 하지만 이러한 값을 가지고 있기만 해서는 결제라는 행위가 이루어질 수 없다. 어딘가로 보내야 한다. 그때 필요한 기술인 직렬화를 알아보자.

직렬화

• 특정 객체의 정보를 비트로 변환하는 것
• 이 과정에서 부호화, 복호화가 필요하기 때문에, 일련의 합의하는 규칙이 필요하다.

비압축 SEC 형식

• 일단 S256Point를 직렬화해보자.
• 해당 클래스는 공개키를 표현하게 되는 클래스이다.
• 공개키는 타원 곡선위의 한 좌표를 의미하기 때문이다.
• 이런 공개키를 직렬화하는 형식은 SEC(Standard for Efficient Cryptography)라 한다.

방법

$P=(x,y)$에 대해 비압축 SEC 표현 방식은 다음과 같다.

1. 0x04의 1바이트 prefix로 시작한다.
2. $x$를 32바이트 Big Endian 정수로 표현한다. (16진수로 64자)
3. $y$를 32바이트 Big Endian 정수로 표현한다. (16진수로 64자)
4. 1, 2, 3을 한데 더한다.

047211a824f55b505228e4c3d5194c1fcfaa15a456abdf37f9b9d97a4040afc073dee6c89064984f03385237d92167c13e236446b417ab79a0fcae412ae3316677

- marker: 04
- x: 7211a824f55b505228e4c3d5194c1fcfaa15a456abdf37f9b9d97a4040afc073
- y: dee6c89064984f03385237d92167c13e236446b417ab79a0fcae412ae3316677

• Big Endian, Little Endian에 대한 설명은 Byte Ordering을 참고하자.
• 쉽게 말하면, 특정 데이터를 비트로 변환할 때 이를 나열하는 순서에 대한 것이다.
• Big Endian의 경우 우리가 일반 숫자를 쓰듯, 앞에 큰 단위를 의미하는 숫자가 오고,
  • 0x182 = 2561 + 168 + 1*2 = $386\_(10)$
• Little Endian의 경우 그 역순으로 된다.
  • 0x182 = 11 + 168 + 2*256 = $641\_(10)$
• 비트를 어떤 순서로 나열하느냐에 따라 이를 파싱하여 나오는 결과값이 상이하기 때문에, 어떠한 규칙으로 저장하는지는 중요한 문제가 된다.

구현

class S256Point(Point):
...
    def sec(self):
        return b'\x04' + self.x.num.to_bytes(32, 'big') + self.y.num.to_bytes(32, 'big')

• b'\x04'는 python에서 bytes 객체를 생성하는 방법이다.
• 자세한 것은 47.3 bytes, bytearray 사용하기를 참고하자.
• to_bytes()함수는 정수형을 bytes 형으로 바꾸는 메서드이다.
  • 32: 길이
  • ‘big’: 방식

압축 SEC 형식

• 공개키는 결국 타원 곡선 위의 한 점이다.
• 이 특성을 알고 있다면 굳이 공개키를 압축할 때, $(x,y)$ 두개의 값을 담아서 보낼 필요가 없을 수 있다.
• 대신 $x$ 값 하나만 보내고, 받는쪽에서 이를 계산하여 $y$값을 얻으면 된다.
  • 다만 연산력이 추가로 필요하기 때문에, 시스템에 따라 저장 비용이 중요한지 계산 비용이 중요한지 판단할 필요는 있다.

• 압축 SEC 형식의 핵심 아이디어는, x만 제공하고 그에 따른 y값은 계산하자.
• 그리고 그 y값의 결정은 타원 곡선 위에서 동일 x에 대한 해들의 대칭적 특성을 사용하여 최소한의 정보만 추가하여 결정짓자는 것이다.
• 쉽게 생각해보자.
• x가 고정되어 있을 경우 타원 곡선에서 해는 두개이며 대칭이다.
• 유한체에서 p의 값은 2보다 큰 소수이다. 즉 “홀수”이다.
• 위쪽의 해의 y값이 홀수인 경우
  • 아래쪽 p-y = 홀수-홀수 = 짝수
• 위쪽의 해의 y값이 짝수인 경우
  • 아래쪽 p-y = 홀수-짝수 = 홀수
• 즉, x값과, 표현하고 싶은 y값의 홀수/짝수 여부만 표현하는 것으로 타원 곡선 위의 특정 좌표를 특정할 수 있다.

동작 방식 정리

타원 곡선 위의 점(공개키)를 보내고 싶은쪽을 A, 받는쪽을 B라 하겠다.

1. A는 보내고 싶은 점을 구한다.
2. y값의 홀수/짝수 여부를 판단한다.
3. x와 y의 홀수/짝수여부를 직렬화하여 보낸다.
4. B는 x와 y의 홀수/짝수여부를 파싱한다.
5. 이미 서로가 알고 있는 타원곡선에 x를 적용한다.
6. 결과로 나온 두개의 y에 대해 홀수/짝수에 따라 값을 결정한다.

표현 방식

0349c4e631e3624a545de3f89f5d8684c7b81386d94bdd531d2e213bf016b278a

- y marker - 03
  - even: 02
  - odd: 03
- × - 49c4e631e3624a545de3f89f5d8684c7b81386d94bdd531d2e213bf016b278a(32 bytes)

구현

class S256Point(Point):
...
    def sec(self, compressed=True):
        '''returns the binary version of the SEC format'''
        if compressed:
            if self.y.num % 2 == 0:
                return b'\x02' + self.x.num.to_bytes(32, 'big')
            else:
                return b'\x03' + self.x.num.to_bytes(32, 'big')
        else:
            return b'\x04' + self.x.num.to_bytes(32, 'big') + \
                self.y.num.to_bytes(32, 'big')
...

결과

• 65byte에서 33byte로 줄어들었다.
• 연산량 절약과 공간 절약 두개의 측면을 비교했을 떄 비트코인의 경우 트랜잭션을 모으고, 이를 저장하는 것이 더 중요하기 때문에
• 공간 절약 측면이 더 영향력이 크다고 볼 수 있다.
• 그렇기 때문에 압축 방식을 쓰는 것이 더 좋다.

파싱 방법

• 보낼 때는 저렇게 보내더라도, 받는쪽에서는 결국 계산을 해야 한다.
• 동일 $x$에 대해 대칭적인 두개의 $y$가 나오기 때문에, 다음과 같은 수학 문제를 풀어야 한다.
• $w^2=v$

풀이 방법

$$\begin{gathered} w^2=w^2\cdot 1 \\ =w^2\cdot w^{p-1} \\ =w^{p+1} \end{gathered}$$

• 페르마의 소정리를 사용하면 $w^2$은 위와 같이 정리할 수 있다.

$$w=w^{2\cdot \frac{1}{2}}=w^{(p+1)\cdot \frac{1}{2}}=(w^2{)}^{(p+1)\cdot \frac{1}{4}}=v^{(p+1)\cdot \frac{1}{4}}$$

• 여기서 $(p+1)\cdot \frac{1}{4}$ 값은 무슨 값일까?
• 유한체에서 정의했기 때문에, 사용되는 수 역시 유한체의 특성을 만족해야 한다.
• 즉, 위수보다 작은 수여야 하며, 정수여야 한다.
• secp256k1에서 사용하는 p는 $p$을 만족한다.
• 즉, $(p+1)$ 이되어 정수가 된다.

파싱 방법

• 보내는 방법은 알았으니, 이제 받는 방법을 알아야 한다.
• 위에서 계산 방법을 알았으니 코드로 적용해보자.

class S256Field(FieldElement):
...
    def sqrt(self):
        return self**((P + 1) // 4)
 
class S256Point(Point):
...
    @classmethod
    def parse(self, sec_bin): # SEC 바이너리를 인자로 받음
        '''returns a Point object from a SEC binary (not hex)'''
        if sec_bin[0] == 4:  # 첫 값이 4라면, 비압축임
            x = int.from_bytes(sec_bin[1:33], 'big')
            y = int.from_bytes(sec_bin[33:65], 'big')
            return S256Point(x=x, y=y)
        is_even = sec_bin[0] == 2  # 2나, 3이라면 압축방식임
        x = S256Field(int.from_bytes(sec_bin[1:], 'big'))
        # right side of the equation y^2 = x^3 + 7
        alpha = x**3 + S256Field(B) # B = 7
        # solve for left side
        beta = alpha.sqrt()  # y값을 구함
        if beta.num % 2 == 0:  #  짝수라면 홀수값도 구해줘야 함
            even_beta = beta
            odd_beta = S256Field(P - beta.num)
        else: # 홀수라면 짝수값도 구해줘야 함
            even_beta = S256Field(P - beta.num)
            odd_beta = beta
        if is_even: # 최종적으로 바이너리에서 홀/짝 요청에 따른 값을 반환함
            return S256Point(x, even_beta)
        else:
            return S256Point(x, odd_beta)

Reference

• Programming Bitcoin by Jimmy Song(O’Reilly). Copyright 2019 Jimmy Song, 978-1-492-03149-9
• programmingbitcoin
• Byte Ordering
• 47.3 bytes, bytearray 사용하기