Condition Number (Sensitivity)

함수나 행렬이 입력 값의 작은 변화에 얼마나 민감하게 반응하는지를 측정하는 값

Matrix Norm을 사용한 정의

$$\kappa (A)=\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert$$

Eigenvalue를 사용한 정의

$$\kappa (A)=\frac{\left|\lambda \_\text{max}\right|}{\left|\lambda \_\text{min}\right|}$$

• 행렬 $A$가 대칭이고 양의 정부호일 때, 행렬의 Norm은 그 행렬의 가장 큰 고유값과 일치한다.
• 즉, $\Vert A\Vert$는 가장 큰 고유값을 나타내며, $\Vert A^{-1}\Vert$는 역행렬의 가장 큰 고유값, 즉 A의 가장 작은 고유값의 역수와 같다.

의미

• Condition Number가 클수록 입력 값의 작은 변화에 민감하게 반응한다.
• 해당 값이 크면 역행렬 계산 시, 입력의 오차에 민감하다.
• 이러한 민감도는 행렬자체의 성질이다. Rounding Error로 발생하는 결과와는 다르다.