What is Array? 직접적으로 값을 순차적으로 매핑한다. C언어에서 오래된 기술이고, 객체가 아니다.
Types of Matrix A\;=\;[a_{ij}] i = m , row size j = n, column size Square Matrix m = n \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} Rectangular Matrix m\; \ne\;n \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2\\ -1 & 0 & 3\\ -2 & -3 & 0\\ 9 & 3 & ...
Determinant det(I)\;=\;1\\ \;\\ det(A^T)\;=\;det(A)\\ \;\\ det(AB)\;=\;det(A)det(B)\\ \;\\ det(cA)\;=\;c^ndet(A).
Inverse Matrix Definition 정사각행렬에서 정의된다. AA^{-1}\;=\;A^{-1}A\;=\;I Determinant 에 따른 구분, 그리고 의미 Determinant 가 존재한다. 역행렬이 존재한다.
Orthogonal Matrix A^TA\;=\;AA^T\;=\;I\\ \;\\ A\;=\;A^{-1}\\.
Linear Independence 하나의 행렬은 공간을 나타낸다고 볼 수 있다.
Rank 행렬은 하나의 공간을 매핑한다고 했다. 방금은 3 x 3 의 행렬에 대해 봤기 때문에, 열벡터 공간과 행벡터 공간이 동일하게 3차원 공간을 매핑하고 있었다. 하지만 행렬이 꼭 정사각행렬이라는 법은 없다.
Gauss Elimination 가우스 소거법은, 연립방정식의 해를 행렬을 이용해 쉽게 구하는 방법이다. 기본적으로 행벡터의 계수를 조작하여 구하는 방법으로, Upper Triangle Matrix, Lower Triangle Matrix 를 만들어 구하는 방법이다.
Motivation of Pivoting 가우스 소거법과, 가우스-조르당 방법에서 대각행렬을 기준으로 수행한다는 것은 명백하다. 우리는 그래서 이 대각 행렬의 요소를 Pivot 이라 부른다.
LU Decomposition LU 분해는 근본적으로 가우스 소거법의 방법을 차용한다. 가우스 소거법은 행의 조작을 통해, Upper Triangle Matrix 를 만드는 것이 핵심이다.
QR Decomposition QR 분해의 근본적인 이유는 무엇일까? 기존의 선형대수에 대한 글에서, 행렬은 하나의 공간을 매핑한다고 했다. 그리고 행렬 size가 정사각행렬이고, full rank일 때 n차원 공간을 매핑한다.