Scalar Function by Scalar

f = f u n c t i o n o f (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}, t) q_{i} = g_{i} (t), i = 1, 2, 3 \dots, n

이때 t에 대해 미분하면,

\frac{df}{d t} = \frac{\partial f}{\partial q _{1}} \frac{d q _{1}}{d t} + \frac{\partial f}{\partial q _{2}} \frac{d q _{2}}{d t} + \dots + \frac{\partial f}{\partial q _{n}} \frac{d q _{n}}{d t} + \frac{\partial f}{\partial t}

이를 벡터 형식으로 나타내면,

\frac{df}{d t} = [\frac{\partial f}{\partial q _{1}} \frac{\partial f}{\partial q _{2}} \dots \frac{\partial f}{\partial q _{n}}] \frac{d q _{1}}{d t} \frac{d q _{2}}{d t} ⋮ \frac{d q _{n}}{d t} + \frac{\partial f}{\partial t}

여기서 벡터로 표현된 녀석을 다음과 같이 표현하자.

[\frac{\partial f}{\partial q _{1}} \frac{\partial f}{\partial q _{2}} \dots \frac{\partial f}{\partial q _{n}}] = \frac{\partial f}{\partial q \to} = f_{q \to}

\frac{d q _{1}}{d t} \frac{d q _{2}}{d t} ⋮ \frac{d q _{n}}{d t} = \frac{d q \to}{d t}

그렇다면 위의 식은 다음과 같이 정리된다.

\frac{df}{d t} = f_{q \to} \frac{d q \to}{d t} + \frac{df}{d t}

Vector Function by Scalar

벡터함수 f는 각각의 요소에 변수 (q1~qn, t) 를 갖는 스칼라 함수를 m개 갖는다고 하자.

f_{1} = f_{1} (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}, t) f_{2} = f_{1} (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}, t) f_{3} = f_{1} (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}, t) ⋮ f_{m} = f_{n} (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}, t) f \to = [f_{1} f_{2} f_{3} \dots f_{m}]^{T}

그렇다면 이 함수를 스칼라 변수 t로 미분하면,

각각의 요소는,

\frac{d f _{j}}{d t} = \frac{\partial f _{j}}{\partial q \to} \frac{d q \to}{d t} + \frac{df}{d t} j = 1, 2, \dots, m

\frac{\partial f _{j}}{\partial q \to} = [\frac{\partial f _{j}}{\partial q _{1}} \frac{\partial f _{j}}{\partial q _{2}} \dots \frac{\partial f _{j}}{\partial q _{n}}]

그렇다면, 벡터 함수를 t로 미분한 최종 결과는,

\frac{d f \to}{d t} = \frac{d f _{1}}{d t} \frac{d f _{2}}{d t} ⋮ \frac{d f _{n}}{d t} = \frac{\partial f _{1}}{\partial q _{1}} ⋮ \frac{\partial f _{m}}{\partial q _{1}} \dots \dots \frac{\partial f _{1}}{\partial q _{n}} ⋮ \frac{\partial f _{m}}{\partial q _{n}} \frac{d q _{1}}{d t} ⋮ \frac{d q _{n}}{d t} + \frac{d f _{1}}{d t} ⋮ \frac{d f _{m}}{d t}

\frac{d f \to}{d t} = \frac{\partial f \to}{\partial q \to} \frac{d q \to}{d t} + \frac{\partial f \to}{\partial t}

여기서 행렬이 만들어진다는 것을 잊으면 안된다! 각각의 크기만 적어보면,

\frac{d f \to}{d t} = \frac{\partial f \to}{\partial q \to} \frac{d q \to}{d t} + \frac{\partial f \to}{\partial t} (m \times 1) = (m \times n) (n \times 1) + (m \times 1)

스칼라 함수를 스칼라로 미분하는 가장 위의 예에서, 함수 f를 벡터 q로 미분하면, 다음과 같다.

\frac{df}{d q \to} = [\frac{df}{d q _{1}} \frac{df}{d q _{2}} \dots \frac{df}{d q _{n}}]

벡터 함수를 스칼라로 미분하는 두번째 예에서, 벡터 함수 f를 q1으로 미분한다면,

\frac{d f \to}{d q _{1}} = [\frac{d f _{1}}{d q _{1}} \frac{d f _{1}}{d q _{1}} \dots \frac{d f _{1}}{d q _{1}}]

Skew-Symmetric Matrix는 벡터의 외적을 사용해서 다르게 표현이 가능한데, 간단한 예를 들어 생각해보자.

a \to = [a_{1} a_{2} a_{3}]^{T} b \to = [b_{1} b_{2} b_{3}]^{T}

이 두 벡터를 내적하면,

a \to \times b \to = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} - (a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1}) a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0 a_{3} - a_{2} - a_{3} 0 a_{1} a_{2} - a_{1} 0 b_{1} b_{2} b_{3} = = a \sim \cdot b \to

외적 식을 b벡터를 활용해서 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이때 중간에 skew-symmetric matrix 가 나오고, a 벡터가 왼쪽에 놓인 외적을 수행했을 때 발생하는 행렬을 위와 같이 표현했다. 마찬가지로, b벡터에 대해 하면,

a \to \times b \to = 0 b_{3} - b_{2} - b_{3} 0 b_{1} b_{2} - b_{1} 0 a_{1} a_{2} a_{3} = = b \sim \cdot a \to

이와 같다.

a 의 단위벡터와 a 벡터를 외적하면, 0이다.

\hat{a \to} \times a \to = - a \to \times \hat{a \to} = 0 \to

이 표현을 Skew-symmetric Matrix를 써서 표현하면,

- a \to \times \hat{a \to} = - = a \to \cdot \hat{a \to} = 0 \to

Skew-Symmetric Matrix 의 특징을 사용하면,

- = a \to = = a \to^{T}

- = a \to \cdot \hat{a \to} = = a \to^{T} \cdot \hat{a \to} = 0 \to

시스템 내에서 역학적 Joint 에서 위치 벡터와의 관계는 다음과 같이 빈번하게 묘사된다.

a \to \times x \to = 0 \to

즉, a 벡터와 x 벡터가 수직임을 나타낸다. 수직인 벡터는 무수하게 많이 나온다는 점을 기억한 상태로 다음을 보자. Skew-symmetric Matrix를 사용해서 나타내면,

= a \sim \cdot x \to = 0 \to = a \sim = 0 a_{3} - a_{2} - a_{3} 0 a_{1} a_{2} - a_{1} 0

a 행렬에 대해 Determinant를 구해보면, 0이다. 즉, a 행렬은 특이 행렬이다. 즉, Rank가 matrix size보다 작다. 즉, x 벡터는 하나로 결정되지 못한다.